🔢 Análise Combinatória — Exercícios de Matemática 9º ano
Fatorial, princípio fundamental da contagem, permutações, arranjos e combinações — com questões oficiais da OBMEP
🔓 Exercício completo grátis9º ano40 questões no exercício completo8 resolvidas aqui, de graçaAlinhado à BNCC
8 exercícios resolvidos de Análise Combinatória
Cada questão traz o gabarito e a explicação de por que a alternativa está certa —
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1Fatorial
O fatorial de um número natural \(n\) (com \(n \ge 1\)) é o produto de \(n\) por todos os naturais menores que ele, até 1. Qual é o valor de \(5!\)?
A20
B120 ✔ resposta correta
C720
D15
Gabarito: B. \(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\). Um erro comum é parar a multiplicação cedo demais (\(5\times4=20\)) ou somar os fatores em vez de multiplicar (15). 📌 Tipo: Fatorial — a base das outras fórmulas: \(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1\)
2Permutação — Fila de Amigas
Cinco amigas — Bia, Duda, Elis, Fê e Gaby — vão tirar uma foto em pé, lado a lado, ocupando 5 posições distintas em fila. De quantas maneiras diferentes elas podem se organizar nessa fila?
A120 ✔ resposta correta
B60
C20
D125
Gabarito: A. O número de permutações de 5 elementos distintos é \(P_5=5!=120\). Parar a multiplicação antes do fim (60, 20) ou usar potenciação como \(5^3=125\) são erros comuns. 📌 Tipo: Permutação — fórmula \(P_n=n!\)
3Arranjo — Comissão com Cargos
Uma turma de 10 alunos precisa eleger, entre si, um representante e um vice-representante (2 cargos distintos, ocupados por alunos diferentes). De quantas maneiras essa dupla pode ser escolhida?
A90 ✔ resposta correta
B45
C20
D100
Gabarito: A. Como representante e vice são cargos diferentes, a ordem de escolha importa: \(A_{10,2}=10\times9=90\). Usar combinação (45) ignoraria que os cargos são distintos; multiplicar \(10\times10\) (100) permitiria erroneamente a mesma pessoa nos dois cargos.
4Contagem por Casos (OBMEP)
📌 Questão OBMEP 2025, 1ª Fase, Nível 2, questão nº 7. Emiliano fez uma lista de números inteiros em ordem crescente, começando em 0 e terminando em 2025, utilizando apenas os algarismos 0, 2 e 5: 0, 2, 5, 20, 22, 25, 50, ..., 2025. Quantos números Emiliano escreveu?
A33 ✔ resposta correta
B34
C35
D36
Gabarito: A. Contando por quantidade de algarismos: de 1 algarismo (0, 2, 5): 3 números. De 2 algarismos (1º∈{2,5}, 2º∈{0,2,5}): \(2\times3=6\). De 3 algarismos: \(2\times3\times3=18\). De 4 algarismos até 2025 (começando em 2 e não ultrapassando 2025): 2000, 2002, 2005, 2020, 2022, 2025 → 6 números. Total: \(3+6+18+6=33\). 📌 Tipo: PFC — contagem por casos: some os PFCs de cada caso
5Casos Especiais do Fatorial
Para que as fórmulas de contagem funcionem mesmo em casos-limite, a Matemática define dois valores especiais de fatorial por convenção. Quais são eles?
A\(0!=0\) e \(1!=1\)
B\(0!=1\) e \(1!=0\)
C\(0!=1\) e \(1!=1\) ✔ resposta correta
D\(0!=0\) e \(1!=0\)
Gabarito: C. Por definição, \(0! = 1\) e \(1! = 1\). Essa convenção evita divisões por zero nas fórmulas de arranjo e combinação quando todos os elementos são escolhidos. 📌 Tipo: Fatorial — \(0!=1\) e \(1!=1\), por definição
6Princípio Fundamental da Contagem
Uma cantina escolar oferece 3 sabores de suco e 4 tipos de salgado. Para montar um lanche com exatamente 1 suco e 1 salgado, quantas combinações distintas de lanche existem?
A16
B12 ✔ resposta correta
C64
D81
Gabarito: B. Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC), quando uma escolha é feita em etapas independentes, multiplicam-se as quantidades de opções de cada etapa: \(3\times4=12\). Elevar apenas um dos fatores ao quadrado (16) ou usar potenciação com os dois fatores (64, 81) não representa etapas independentes sucessivas. 📌 Tipo: PFC — multiplique as opções de cada etapa independente
7PFC com Três Etapas
Para criar um avatar em um aplicativo, um usuário escolhe, em sequência, 1 entre 5 personagens, 1 entre 3 cores de fundo e 1 entre 4 emblemas. Quantas combinações diferentes de avatar são possíveis?
A12
B20
C60 ✔ resposta correta
D300
Gabarito: C. Pelo PFC, multiplicam-se as opções de cada etapa independente: \(5\times3\times4=60\). Esquecer uma das etapas leva a resultados menores, como \(3\times4=12\) ou \(5\times4=20\). 📌 Tipo: PFC — multiplique as opções de cada etapa independente
8PFC — Comparando Estratégias
Marcos quer formar uma fila com seus 2 cachorros e 1 gato, mas os dois cachorros devem ficar sempre juntos na fila, um do lado do outro. De quantas maneiras diferentes essa fila de 3 animais pode ser organizada?
A6
B8
C3
D4 ✔ resposta correta
Gabarito: D. Tratando os 2 cachorros como um bloco único (pois devem ficar juntos), há 2 'objetos' para organizar (bloco + gato): \(2!=2\) maneiras. Dentro do bloco, os cachorros podem trocar de ordem: mais \(2!=2\) maneiras. No total: \(2\times2=4\). 📌 Tipo: Permutação + PFC — fórmula \(P_n=n!\) aplicada ao bloco, combinada com PFC
O que este exercício cobra
Assuntos trabalhados nas 40 questões de Análise Combinatória — Matemática, 9º ano.
FatorialCasos Especiais do FatorialPrincípio Fundamental da ContagemSimplificação de FatoriaisPFC com Três EtapasPFC — Placas de VagaPFC — Diagrama em ÁrvorePFC — Cardápio ExecutivoPFC — Restrição de PosiçãoPFC — Comparando EstratégiasPermutação SimplesPermutação — Fila de AmigasPermutação — Restrição de ExtremoPermutação com Repetição — AnagramasPermutação com Repetição — Anagramas SimplesDiferença entre Permutação e ArranjoPermutação — Anagramas de CADERNOPermutação — Posição Relativa (OBMEP)Permutação — Fila com Bloco FixoPermutação — Restrição de Letra InicialArranjo Simples — DefiniçãoArranjo — Tabuleiro (OBMEP)Arranjo — Comissão com CargosCombinação Simples — Definição
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