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🔎 Investigações: Gauss, Sequências e Pick — Exercícios de Matemática 7º ano
Soma de Gauss, sequências e regularidades, expressões equivalentes e áreas com a relação de Pick
7º ano20 questões no exercício completo8 resolvidas aqui, de graçaAlinhado à BNCC
8 exercícios resolvidos de Investigações: Gauss, Sequências e Pick
Cada questão traz o gabarito e a explicação de por que a alternativa está certa —
do jeito que aparece na plataforma. Role até o fim para fazer o exercício completo com correção automática.
1Soma de Gauss
Para somar \(1+2+3+\dots+99+100\) rapidamente, o jovem Gauss percebeu que podia formar pares com a mesma soma: \(1+100=101\), \(2+99=101\), \(3+98=101\)... Juntando o primeiro número com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante, quantos pares desse tipo ele formou?
A100 pares
B50 pares ✔ resposta correta
C101 pares
D99 pares
Gabarito: B. São 100 números no total. Como cada par usa 2 números, formam-se \(100 \div 2 = 50\) pares, todos somando 101.
2Teorema de Pick
Como se chama o teorema que calcula a área de polígonos construídos em malhas pontilhadas, conforme a imagem a seguir?
ATeorema de Pitágoras
BTeorema de Pick ✔ resposta correta
CTeorema de Tales
DTeorema de Euclides
Gabarito: B. É o Teorema (ou relação) de Pick, que calcula a área \(A\) de um polígono em malha pontilhada usando os pontos da fronteira \(B\) e do interior \(I\): \(A = \dfrac{B}{2} + I - 1\).
3Investigação numérica
Observe o padrão: \(1^3=1\) \(2^3=3+5\) \(3^3=7+9+11\) Perceba que cada cubo é formado pela soma de números ímpares consecutivos (consecutivo significa: que vem na sequência). Seguindo esse padrão, \(4^3\) é a soma de quais números ímpares consecutivos?
A13 + 15 + 17 + 19 ✔ resposta correta
B11 + 13 + 15 + 17
C15 + 17 + 19 + 21
D9 + 11 + 13 + 15
Gabarito: A. O padrão usa ímpares consecutivos sem repetir: depois do 11 vêm 13, 15, 17 e 19. E o cubo de 4 pede 4 parcelas. Conferindo: \(13+15+17+19 = 64 = 4^3\). ✔
4Sequências
Uma sequência de figuras é formada por colunas de quadradinhos: a 1ª figura tem 2 quadradinhos, a 2ª tem 4, a 3ª tem 6, e o padrão continua sempre do mesmo jeito. Quantos quadradinhos terá a figura da 10ª posição?
A12
B18
C20 ✔ resposta correta
D22
Gabarito: C. A cada posição, a figura ganha 2 quadradinhos: o total é sempre o dobro da posição. Na 10ª posição: \(2 \times 10 = 20\).
5Sequências
Ainda sobre a sequência anterior (2, 4, 6, 8, ...), qual expressão algébrica representa o número de quadradinhos da figura que está na posição \(n\)?
A\(n + 2\)
B\(2n\) ✔ resposta correta
C\(n^2\)
D\(2n + 2\)
Gabarito: B. O total é sempre o dobro da posição: posição 1 → 2, posição 2 → 4, posição 3 → 6. A expressão é \(2n\).
6Expressões equivalentes
Para descrever a mesma sequência (4, 6, 8, 10, ...), Ana escreveu a expressão \(2(n+1)\) e Bruno escreveu \(2n+2\). Analisando as duas expressões, podemos afirmar que elas:
Asão equivalentes, pois \(2(n+1) = 2n+2\) pela propriedade distributiva ✔ resposta correta
Bnão são equivalentes, pois uma tem parênteses e a outra não
Csão equivalentes apenas quando \(n\) é um número par
Dnão são equivalentes, pois geram valores diferentes para cada posição
Gabarito: A. Distribuindo: \(2(n+1) = 2 \cdot n + 2 \cdot 1 = 2n+2\). As duas expressões geram exatamente os mesmos valores para qualquer \(n\) — são equivalentes.
7Teorema de Pick
O matemático Georg Pick descobriu uma relação para calcular a área de polígonos desenhados em malhas pontilhadas. E a relação é igual a \(A = \dfrac{B}{2} + I - 1\). O que significam as letras \(A\), \(B\) e \(I\) da relação?
A\(A\) = área do polígono; \(B\) = pontos na fronteira; \(I\) = pontos no interior ✔ resposta correta
B\(A\) = área do polígono; \(B\) = pontos no interior; \(I\) = pontos na fronteira
C\(A\) = número de lados; \(B\) = pontos na fronteira; \(I\) = pontos no interior
D\(A\) = área do polígono; \(B\) = número de vértices; \(I\) = número de lados
Gabarito: A. Na relação de Pick, \(A\) é a área do polígono, \(B\) é a quantidade de pontos da malha que ficam exatamente sobre a fronteira (contorno) do polígono, e \(I\) é a quantidade de pontos da malha que ficam no interior do polígono.
8Expressões equivalentes
Para calcular quantos quadradinhos formam a borda de um tanque quadrado de lado \(n\) metros (com borda de 1 m), Carla escreveu \((n+2)^2 - n^2\) e Diego escreveu \(4n + 4\). Sobre essas expressões, é correto afirmar que:
Asão equivalentes: desenvolvendo \((n+2)^2 - n^2\), o resultado é \(4n + 4\) ✔ resposta correta
Bnão são equivalentes, pois a de Carla tem um termo ao quadrado
Csão equivalentes apenas quando \(n = 10\)
Dnão são equivalentes, pois \(4n+4\) sempre gera um valor menor
Gabarito: A. Desenvolvendo: \((n+2)^2 - n^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 = 4n + 4\). As duas descrevem a mesma quantidade — são expressões equivalentes para a mesma regularidade. Testando com \(n = 10\): as duas dão 44, como na questão do tanque.
O que este exercício cobra
Assuntos trabalhados nas 20 questões de Investigações: Gauss, Sequências e Pick — Matemática, 7º ano.
Soma de GaussInvestigação numéricaSequênciasExpressões equivalentesTeorema de PickÁreas
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